Lineare Unabhängigkeit

Eine endliche Teilmenge eines Vektorraums heißt linear unabhängig, wenn aus

folgt. Anderenfalls heißt sie linear abhängig. Hat man und beliebige Vektoren aus , dann ist aufgrund der Vektorraumaxiome trivialerweise das Nullelement von . lineare Unabhängigkeit der Vektoren bedeutet die Darstellung des Nullelements ausschließlich nur mit . Dieser wichtige Begriff der linearen Abhängigkeit ist aus der Linearen Algebra gut bekannt und diente bereits zur Definition eines Fundamentalsystems von Lösungen für homogene Differentialgleichungen. Eine unendliche Teilmenge heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge von E linear unabhängig ist. Anderenfalls heißt E wieder linear abhängig.

Beispiel

Bezeichnet man mit e_k die Folge, deren Glieder bis auf das k-te alle gleich 0 sind und das k-te Glied gleich 1 ist, dann liegt e_k im Raum und demzufolge in jedem Folgenraum. Die Menge ist linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum ist z.B. das Funktionensystem

linear unabhängig, wohingegen die Funktionen linear abhängig sind (s. trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache).