Eine linear unabhängige Teilmenge B aus 
, die den gesamten Raum 
erzeugt, d.h. für die 
gilt, nennt man (algebraische) Basis oder HAMELsche Basis des Vektorraumes . Also ist 
genau dann eine Basis von , wenn sich jeder Vektor 
in der Form 
darstellen läßt, wobei die Koeffizienten 
eindeutig bestimmt sind und lediglich eine endliche (von x abhängige) Anzahl von ihnen von Null verschieden ist. Jeder nichttriviale Vektorraum (d.h. 
) besitzt wenigstens eine algebraische Basis, und zu jeder linear unabhängigen Teilmenge E aus gibt es eine algebraische Basis von , die E enthält.
Ein Vektorraum heißt m-dimensional oder von der Dimension 
, wenn es in ihm eine Basis aus m Vektoren gibt. Das bedeutet, es existieren in 
linear unabhängige Vektoren, und jedes System von m+1 Vektoren ist linear abhängig.
Ein Vektorraum heißt unendlichdimensional, wenn er keine endliche Basis besitzt, d.h., wenn es für jede natürliche Zahl m in stets m linear unabhängige Vektoren gibt.
Bis auf den Raum 
, dessen Dimension gleich n ist, sind alle anderen Vektorräume in den Beispielen B bis G und in den Beispielen A bis E unendlichdimensional. Der Teilraum 
ist dreidimensional. Wie im endlichdimensionalen Falle haben auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum zwei Basen stets die gleiche Mächtigkeit (Kardinalzahl), die man mit 
bezeichnet. Die Dimension ist somit eine Invariante des Vektorraumes, hängt also nicht von der konkreten Auswahl einer algebraischen Basis ab.