Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators

Satz:

Ist T ein linearer stetiger bijektiver Operator von auf , dann ist der inverse Operator T^-1 stetig.

Anwendungen:

Als wichtige Anwendungen ergeben sich daraus beispielsweise die Stetigkeit von bei Injektivität und Surjektivität von , was bei der Untersuchung des Spektrums eines Operators von Bedeutung ist, sowie die

Stetige Abhängigkeit der Lösung

sowohl von der rechten Seite als auch von den Anfangswerten bei Anfangswertproblemen für lineare Differentialgleichungen .

Das soll an der folgenden Anfangswertaufgabe gezeigt werden:

Beispiel

Das Anfangswertproblem

mit den Koeffizienten besitzt für jede rechte Seite und jedes Zahlenpaar genau eine Lösung x aus , die im folgenden Sinne stetig von und abhängt. Sind und gilt für

dann gilt: