Methode der sukzessiven Approximation

Die Methode der sukzessiven Approximation eignet sich zur Lösung einer Gleichung der Form

x-Tx=y (12.147)

mit einem stetigen linearen Operator T im BANACH-Raum bei vorgegebenem . Sie besteht darin, ausgehend von einer beliebigen Anfangsnäherung , eine Folge {x_n} von Näherungslösungen nach der Vorschrift

zu erzeugen, die in zur Lösung x^* von (12.147) konvergiert. Die Konvergenz der Methode, also basiert auf der Konvergenz der Reihe (12.142) mit .

Sei , dann gelten die folgenden Aussagen:

1. Der Operator I-T besitzt einen stetigen Inversen mit , und die Gleichung (12.147) hat genau eine Lösung für beliebiges .
2. Die Reihe (12.142) konvergiert, und ihre Summe ist der Operator .
3. Das Verfahren (12.148) konvergiert für einen beliebigen Anfangswert x₀ zur eindeutigen Lösung x^* der Gleichung (12.147), falls die Reihe (12.142) konvergiert. Dabei gilt die Abschätzung

Analog (s. Lineare Integralglweichungen und  [12.9]) behandelt man Gleichungen der Typen