Stückweise differenzierbare Funktionen

Die Bildfunktionen stückweise differenzierbarer Funktionen lassen sich mit Hilfe der -Funktion leicht angeben:
Wenn f(t) stückweise differenzierbar ist und an den Stellen die Sprünge hat, dann ist ihre erste Ableitung in der Form

darstellbar, wobei in den Bereichen, in denen f(t) differenzierbar ist, f'_s(t) die gewöhnliche Ableitung von f(t) bedeutet.
Wenn Sprünge erst in den Ableitungen auftreten, gelten für diese ganz entsprechende Formeln. Auf diese Weise lassen sich die Bildfunktionen zu Kurvenzügen, die sich aus Parabelbögen beliebig hoher Ordnung zusammensetzen (empirisch gefundene Kurven wird man meist durch solche einfachen Funktionen annähern), ohne großen Rechenaufwand angeben. Bei formaler Anwendung von (15.13) sind im Falle einer Sprungstelle die Werte gleich Null zu setzen.

Beispiel A: Unipolarer Sägezahnimpuls

;
;     .

Beispiel B: Unipolarer Dreieckimpuls, bipolarer Rechteckimpuls

    (s. linke Abbildung);
         (s. rechte Abbildung);
;     ;
.

Beispiel C: Unipolarer Trapezimpuls, bipolarer Rechteckimpuls

    (s. linke Abbildung);
(s. rechte Abbildung);
;    
.

Beispiel D: Unipolarer Parabelimpuls, bipolarer Sägezahnimpuls

    (s. linke Abbildung).
    (s. rechte Abbildung).
;     ;
.