Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen

Gegeben sei ein periodischer Orbit von (17.61) bei mit den Multiplikatoren . Eine Bifurkation nahe ist möglich, wenn bei Änderung von mindestens einer der Multiplikatoren auf den komplexen Einheitskreis trifft. Die Verwendung einer zu transversalen Fläche führt auf eine parameterabhängige POINCARÉ-Abbildung

Dabei sei , wobei und offene Mengen sind, eine C^r-Abbildung, wobei die Abbildung mit sogar ein C^r-Diffeomorphismus sei. Es sei weiter P(0,0) = 0 und die JACOBI-Matrix D_x P(0,0) habe s Eigenwerte mit Eigenwerte mit und k = n-s-m-1 Eigenwerte mit . Dann ist nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen (s. [17.11]) nahe topologisch konjugiert zur Abbildung

nahe mit . Dabei ist g eine C^r-differenzierbare Abbildung, die den Bedingungen g(0,0) = 0 und D_xg(0,0) = 0 genügt. Außerdem sind A^c,A^s bzw. A^u Matrizen vom Typ (s,s),(m,m) bzw. (k,k) mit Eigenwerten auf, innerhalb bzw. außerhalb des Einheitskreises.

Aus (17.73) folgt, daß Bifurkationen von (17.72) nahe (0,0) ausschließlich durch die reduzierte Abbildung

auf der lokalen Zentrumsmannigfaltigkeit beschrieben werden.