Melnikov-Methode

Gegeben sei die ebene Differentialgleichung

(17.83)

wobei ein kleiner Parameter ist. Für sei (17.83) ein HAMILTON-System, d.h. für f=(f₁,f₂) gelte und , wobei eine C³-Funktion sei. Das zeitabhängige Vektorfeld sei zweimal stetig differenzierbar und T-periodisch bezüglich des ersten Arguments. Außerdem seien f und g beschränkt auf beschränkten Mengen. Bei existiere in (17.83) ein homokliner Orbit bezüglich des Sattelpunktes . Der POINCAR´E-Schnitt von (17.83) im Phasenraum {(x₁,x₂,t)} bei t=t₀ sehe aus wie in der folgenden Abbildung.

Die POINCAR´E-Abbildung hat für kleine einen Sattel nahe x = 0 mit den invarianten Mannigfaltigkeiten und . Ist der homokline Orbit des ungestörten Systems durch gegeben, so läßt sich der Abstand der Mannigfaltigkeiten und , gemessen entlang der Geraden, die durch verläuft und senkrecht auf steht, durch die Formel

(17.84a)

berechnen. Dabei ist die MELNIKOV-Funktion, die durch

(17.84b)

definiert ist. Für a = (a₁,a₂) und b = (b₁,b₂) ist . Besitzt die MELNIKOV-Funktion M in t₀ eine einfache Nullstelle, d.h., gilt M(t₀) = 0 und , dann schneiden sich die Mannigfaltigkeiten und für genügend kleine transversal. Wenn M keine Nullstellen besitzt, gilt , d.h., es gibt keine homoklinen Punkte.

Bemerkung: Das ungestörte System (17.83) besitze einen heteroklinen Orbit, gegeben durch , der aus einem Sattel 0₁ in einen Sattel 0₂ läuft. Seien und die Sattel der POINCARE-Abbildung für kleine . Besitzt , berechnet wie oben, in t₀ eine einfache Nullstelle, so schneiden sich und für kleine transversal.