Satz von Shilnikov

Betrachtet wird die Differentialgleichung (17.61) im mit einem skalaren Parameter . Das System (17.61) habe bei die hyperbolische Ruhelage 0 vom Sattelknoten-Typ, die für kleine erhalten bleibe. Die JACOBI-Matrix D_xf(0,0) habe den Eigenwert und die konjugiert komplexen Eigenwerte mit . Weiter habe (17.61) bei eine Separatrixschleife , d.h. einen homoklinen Orbit, der für und gegen 0 geht (s. Abbildung).

Dann hat (17.61) nahe der Separatrixschleife folgende Phasenporträts:

1. Sei . Bricht die Separatrixschleife bei in der mit A gekennzeichneten Variante der obigen Abbildung auf, so setzt bei genau ein periodischer Orbit von (17.61) ein. Bricht die Separatrixschleife bei in der mit B gekennzeichneten Variante der obigen Abbildung auf, so entsteht kein periodischer Orbit.
2. Sei . Dann existieren bei (bzw. für kleine ) nahe der Separatrixschleife (bzw. nahe der zerfallenen Schleife ) abzählbar unendlich viele sattelartige periodische Orbits. Die POINCAR´E-Abbildung bezüglich einer zu transversalen Ebene erzeugt bei eine abzählbar unendliche Menge von Hufeisen-Abbildungen, von denen bei kleinen eine endliche Anzahl bleibt.