Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen

Sei ein T-periodischer Orbit von (17.1) und eine (n-1)-dimensionale glatte Hyperfläche, die in x₀ den Orbit transversal schneidet (s. linke Abbildung).

Dann gibt es eine Umgebung U von x₀ und eine glatte Funktion mit und für alle . Die Abbildung mit heißt POINCAR´E-Abbildung für in . Ist die rechte Seite f von (17.1) r-mal stetig differenzierbar, so ist P ebenfalls so oft differenzierbar. Die Eigenwerte der JACOBI-Matrix DP(x₀) sind die Multiplikatoren des periodischen Orbits, hängen also nicht von der Wahl des x₀ auf und der Wahl der transversalen Fläche ab. Der POINCAR´E-Abbildung kann ein System (17.3) in M =U zugeordnet werden, das erklärt ist, solange die Bildpunkte in U bleiben. Den Ruhelagen dieses zeitdiskreten Systems entsprechen periodische Orbits von (17.1), und der Stabilität dieser Ruhelagen entspricht die Stabilität der periodischen Orbits von (17.1).