Ergodische dynamische Systeme

Ein dynamisches System auf mit invariantem Maß heißt ergodisch (man sagt auch, das Maß ist ergodisch), wenn für jede BOREL-Menge A mit entweder oder 0 ist.
Ist ein zeitdiskretes dynamisches System (17.3), ein Homöomorphismus, M ein kompakter metrischer Raum, so existiert immer ein invariantes ergodisches Maß (Satz von BOGOLJUBOV-KRYLOV).

Beispiel A

Gegeben sei die Rotationsabbildung des Kreises S¹

mit , definiert durch . Das LEBESGUE-Maß ist invariant unter . Ist irrational, so ist (17.31) ergodisch; ist rational, so ist (17.31) nicht ergodisch.

Beispiel B

Dynamische Systeme mit stabilen Ruhelagen oder stabilen periodischen Orbits als Attraktoren sind bezüglich des auf diesen Attraktoren konzentrierten natürlichen Maßes ergodisch.

Ergodensatz von Birkhoff: Das dynamische System sei auf M ergodisch bezüglich des invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes . Dann stimmen für jede integrierbare Funktion die Zeitmittel entlang des positiven Semiorbits , d.h. für Flüsse und für zeitdiskrete Systeme, für -fast alle Punkte mit dem Raummittel überein.