Formeln für die Fourier-Koeffizienten

Da das Funktionensystem bezüglich des Intervalls und bezüglich der Gewichtsfunktion orthogonal ist, erhält man durch Anwendung der Fehlerquadratmethode im stetigen Fall gemäß (19.169) für die Ansatzkoeffizienten die Formeln

Die Koeffizienten , die nach der Formel (19.206) berechnet werden, heißen
FOURIER-Koeffizienten der periodischen Funktion f(x).
Lassen sich die in (19.206) auftretenden Integrale nicht mehr elementar oder nur mit großem Rechenaufwand integrieren oder ist die Funktion f(x) nur punktweise bekannt, dann kann man die FOURIER-Koeffizienten näherungsweise durch numerische Integration ermitteln.
Durch die Anwendung der Trapezformel mit den gleichabständigen N+1 Stützstellen

erhält man die Näherungsformeln

Im vorliegenden Fall periodischer Funktionen ist die Trapezformel in die sehr einfache Rechteckregel übergegangen. Diese ist hier von großer Genauigkeit, denn es gilt:
Ist f(x) periodisch und (2m+2)-mal stetig differenzierbar, dann hat die Trapezformel die Fehlerordnung .