Reelle Nullstellen, Sturmsche Kette

Mit der kartesischen Zeichenregel kann man einen ersten Hinweis darauf bekommen, ob die Polynomgleichung (19.11) reelle Nullstellen hat. Es gilt:

  1. Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
    (19.19a)

    oder um eine gerade Anzahl kleiner.

  2. Die Anzahl der negativen Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
    (19.19b)

    oder um eine gerade Anzahl kleiner.

Beispiel

p5(x) = x5-6x4+10x3+13x2-15x-16 hat 1 oder 3 positive Nullstellen und 0 oder 2 negative Nullstellen.

Mit der STURMschen Kette kann man genaue Auskunft über die Anzahl der reellen Nullstellen zwischen zwei Stellen x = a und x = b bekommen.
Einen Überblick über den Verlauf der Kurve y = pn(x) und damit auch über die Lage ihrer Nullstellen verschafft man sich dadurch, daß man mit Hilfe des HORNER-Schemas für gleichabständige Argumentwerte die Funktionswerte ermittelt. Hat man zwei Stellen x = a und x = b gefunden, an denen pn(x) entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann liegt zwischen ihnen mindestens eine reelle Nullstelle.