Ausgleichssplines

In der Praxis sind die gegebenen Werte f_i häufig Meßwerte, also fehlerbehaftet. In diesem Fall ist die Interpolationsforderung unzweckmäßig. Man führt deshalb den kubischen Ausgleichsspline ein. Er entsteht, wenn man beim kubischen Interpolationsspline die Interpolationsforderung durch

ersetzt. Die Forderung nach Stetigkeit von und S'' bleibt erhalten, so daß sich zur Bestimmung der Spline-Koeffizienten eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ergibt. Die Lösung erfolgt mit Hilfe einer LAGRANGE-Funktion. Einzelheiten s. [19.34], [19.35].

In (19.235) stellt einen Glättungsparameter oder Regularisierungsparameter dar, der vorgegeben werden muß. Für ergibt sich als Spezialfall der kubische Interpolationsspline, für große erhält man eine glatte Näherungskurve, die dafür aber die Meßpunkte nur ungenau wiedergibt, und für ergibt sich schließlich als weiterer Spezialfall die Ausgleichsgerade. Eine geeignete Wahl von kann am Computer im Bildschirmdialog erfolgen.

Die Parameter in (19.235) stellen die Standardabweichungen der Meßfehler dar, mit denen die Meßwerte evtl. behaftet sind.

Bei den bisher betrachteten kubischen Interpolations- und Ausgleichssplines waren die Abszissen der Interpolations- bzw. Meßpunkte identisch mit den Knoten der Spline-Funktion. Das hat zur Folge, daß bei großem N der Spline aus einer sehr großen Anzahl von kubischen Ansatzfunktionen (19.229) besteht. Es liegt nahe, Anzahl und Lage der Knotenpunkte frei zu wählen, da man in der Praxis meist mit wesentlich weniger Spline-Stücken auskommt. Darüber hinaus ist es numerisch günstiger, an Stelle des Ansatzes (19.229) Splines in der Form

anzusetzen. Dabei ist r die Anzahl der frei gewählten Knoten, und mit N_i,4(x) werden die sogenannten normalisierten B-Splines (Basis-Splines) der Ordnung 4, d.h. vom Polynomgrad 3, zum i-ten Knoten bezeichnet. Ausführungen dazu s. [19.8], [19.6].