Lineare Ausgleichsaufgaben

Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem

in Matrixschreibweise

Die Koeffizientenmatrix , die vom Typ (m,n) ist, habe den Maximalrang , d.h., ihre Spalten sind linear unabhängig. Da ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in der Regel keine Lösung hat, geht man von (19.37) zu den sogenannten Fehlergleichungen

mit den Residuen r_i über und verlangt, daß die Summe der Quadrate der Residuen minimal wird:

Die Aufgabe (19.40) wird als lineare Ausgleichsaufgabe oder lineares Quadratmittelproblem bezeichnet. Die notwendigen und hier auch hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Fehlerquadratsumme ihr Minimum annimmt, lauten

und führen auf das lineare Gleichungssystem

Der Übergang von (19.38) zu (19.42) wird als GAUSS-Transformation bezeichnet, da das System (19.42) durch Anwendung der GAUSSschen Fehlerquadratmethode aus (19.38) entstanden ist. Da für Maximalrang vorausgesetzt wurde, ist eine positiv definite Matrix vom Typ , und die sogenannten Normalgleichungen (19.42) können mit Hilfe des CHOLESKY-Verfahrens numerisch gelöst werden.

Bei der Lösung des Normalgleichungssystems (19.42) können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl (s. [19.31]) der Matrix sehr groß ist. Die Lösung kann dann große relative Fehler haben. Deshalb ist es numerisch günstiger, zur Lösung linearer Ausgleichsaufgaben Orthogonalisierungsverfahren zu verwenden.