Rechenschema

Durch die Differentialgleichung y'(x) =f(x,y(x)) ist in jedem Punkt (x₀,y₀) der Lösungskurve die Richtung ihrer Tangente gegeben. Das EULERsche Polygonzugverfahren verfolgt diese Richtung bis zur nächsten Stützstelle. Bei RUNGE-KUTTA-Verfahren werden zusätzliche Stufen zwischen (x₀,y₀) und dem nächsten Näherungspunkt (x₀+h,y₁) einbezogen. Durch geeignete Wahl dieser Zwischenstufen bezüglich Anzahl und Lage erhält man eine höhere Genauigkeit von y₁. Das im folgenden angegebene klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren stellt ein vierstufiges Verfahren 4. Ordnung dar (s. Konvergenzordnung). Zum Vergleich: Das EULER-Verfahren ist ein einstufiges Verfahren 1. Ordnung.
Zur genäherten Lösung der Anfangswertaufgaben (19.93) wird der Schritt von x₀ nach x₀+h wie folgt durchgeführt:

Die weiteren Schritte erfolgen nach demselben Schema. Der Fehler des klassischen RUNGE-KUTTA-Verfahrens gemäß (19.99) ist bei jedem Schritt von der Größenordnung , so daß bei geeigneter Wahl der Schrittweite eine sehr hohe Genauigkeit erzielt wird.

Beispiel

mit . y(0,5) ist in einem Schritt, d.h. , zu bestimmen (s. die folgende Tabelle). Der auf 8 Dezimalen genaue Wert lautet 0,01041860.