Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz

Einschrittverfahren kann man allgemein in der folgenden Form darstellen:

Dabei wird F(x,y,h) Zuwachsfunktion oder Fortschreitrichtung des Einschrittverfahrens genannt. Die durch (19.110) gewonnene Näherungslösung hängt von der Schrittweite h ab und soll deshalb mit y(x,h) bezeichnet werden. Ihre Abweichung von der exakten Lösung y(x) der Anfangswertaufgabe (19.93) ergibt den globalen Diskretisierungsfehler (19.111), und man sagt: Das Einschrittverfahren (19.110) ist konvergent mit der Ordnung p (Konvergenzordnung), falls p die größte natürliche Zahl mit

g(x,h)=y(x,h)-y(x)=O(h^p) (19.111)

ist. Die Formel (19.111) besagt, daß für jedes x aus dem Definitionsbereich der Anfangswertaufgabe die mit der Schrittweite bestimmte Näherung y(x,h) für jede Verfeinerung der Einteilung mit gegen die Lösung y(x) konvergiert.

Beispiel

Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) hat die Konvergenzordnung . Für das klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren (19.99) gilt .