Hinweise

1. Für die spezielle Differentialgleichung y'(x) =f(x) geht das klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren in die SIMPSON-Formel über.
2. Bei einer sehr großen Anzahl von Integrationsschritten kann sich ein Wechsel der Schrittweite als zweckmäßig oder sogar notwendig erweisen. Über einen Schrittweitenwechsel kann mit Hilfe einer Fehlerschätzung entschieden werden, die dadurch gewonnen wird, daß man die Rechnung etwa mit doppelter Schrittweite 2h wiederholt. Hat man z.B. für y(x₀+2h) die Näherungswerte y₂(h) (Rechnung mit einfacher Schrittweite) und y₂(2h) (Rechnung mit doppelter Schrittweite) bestimmt, dann gilt für den Fehler R₂(h) = y(x₀+2h)-y₂(h) die Schätzung

   Alternativ ist die Realisierung einer Fehlerschätzung durch die Nutzung eines Paares von RUNGE-KUTTA-Verfahren möglich, deren Ordnungen sich um 1 unterscheiden. Die beiden Verfahren sollten in ihren Zwischenstufen möglichst weitgehend übereinstimmen; man spricht dann von eingebetteten RUNGE-KUTTA-Verfahren [19.17]

   Informationen über die Realisierung dieser sogenannten Schrittweitensteuerung findet man in der Literatur (s. [19.31], [19.6]).

3. RUNGE-KUTTA-Schemata für Differentialgleichungen höherer Ordnung s. [19.31]. Andererseits können Differentialgleichungen höherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung überführt werden (s. Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen). Dann besteht das Näherungsverfahren aus parallel durchgeführten Rechnungen gemäß (19.99), die durch die Differentialgleichungen miteinander gekoppelt sind.