Gauß-Newton-Verfahren

Einen anderen Lösungsweg, der bei praktischen Aufgaben in der Regel gegangen wird, vermittelt das GAUSS-NEWTON-Verfahren, das zur Lösung der nichtlinearen Quadratmittelaufgabe (19.24) beschrieben worden ist. Die Übertragung auf die jetzt vorliegende nichtlineare Approximationsaufgabe (19.184) erfordert die folgenden Schritte:

1. Linearisierung

der Ansatzfunktion nach TAYLOR bezüglich der Parameter . Dazu müssen Näherungswerte bekannt sein:

2. Lösung

der linearen Ausgleichsaufgabe

mit Hilfe des Normalgleichungssystems

oder durch ein Orthogonalisierungsverfahren. In (19.187) sind die Komponenten der Vektoren und durch

= (19.188a)

= (19.188b)

gegeben. Die Matrix wird analog zu in (19.177b) gebildet, indem man durch
ersetzt.

3. Berechnung

einer neuen Näherung durch

wobei ein Schrittweitenparameter ist.

Durch Wiederholung der Schritte 1 bis 3 mit a_i⁽¹⁾ an Stelle von a_i⁽⁰⁾ usw. erhält man für die gesuchten Parameter Folgen von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherung abhängt. Mit Hilfe des Schrittweitenparameters läßt sich aber eine Verkleinerung der Fehlerquadratsumme erzielen.