Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen

Die elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig; Unstetigkeitsstellen gehören nicht zum Definitionsbereich. Es können die folgenden allgemeinen Aussagen gemacht werden:

1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome:
Sie sind auf der gesamten Zahlengerade stetig.
2. Gebrochenrationale Funktionen:
mit den Polynomen P(x) und Q(x) sind überall stetig, ausgenommen die x-Werte, für die Q(x)=0 ist. An Stellen , für die Q(x)=0 aber gilt, besitzt die Funktion eine Unstetigkeitsstelle mit einem Verlauf ins Unendliche, die Pol genannt wird. Ist der Wert a sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, dann gibt es nur dann einen Pol, wenn die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners größer ist als die des Zählers. Anderenfalls ist die Unstetigkeit hebbar.
3. Irrationale Funktionen:
Wurzeln (mit ganzzahligen Wurzelexponenten) aus Polynomen sind für alle x-Werte, die zum Definitionsbereich gehören, stetige Funktionen. Auf dem Rande der Definitionsbereiche können sie mit einem endlichen Wert abbrechen, wenn der Radikand von positiven zu negativen Werten überwechselt. Wurzeln aus gebrochenrationalen Funktionen sind für solche x-Werte unstetig, für die der Radikand eine Unstetigkeitsstelle besitzt.
4. Trigonometrische Funktionen:
Die Funktionen und sind überall stetig; und besitzen an den Stellen unendliche Sprünge; und besitzen bei unendliche Sprünge (n ganz).
5. Inverse trigonometrische Funktionen:
Die Funktionen und sind überall stetig, und brechen an den Grenzen ihres Definitionsbereiches wegen ab.
6. Exponentialfunktionen:
Die Exponentialfunktionen ex oder ax mit a > 0 sind überall stetig.
7. Logarithmische Funktionen:
Die logarithmische Funktion mit beliebiger positiver Basis ist für alle positiven x-Werte stetig und bricht an der Stelle x=0 wegen ab.
8. Zusammengesetzte elementare Funktionen:
Die Stetigkeit muß für alle x-Werte der einzelnen elementaren Funktionen, die in dem zusammengesetzten Ausdruck enthalten sind, entsprechend den oben angeführten Fällen untersucht werden (siehe auch Mittelbare Funktionen).
Beispiel

Es sind die Unstetigkeitsstellen der Funktion zu ermitteln. Der Exponent besitzt an der Stelle x=2 einen unendlichen Sprung; für x=2 hat auch einen unendlichen Sprung: . Die Funktion y hat bei x=2 einen endlichen Nenner. Folglich gibt es für x=2 einen unendlichen Sprung vom gleichen Typ, wie im Punkt C der folgenden Abbildung:

Bild

Für x=0 wird der Nenner zu null, ebenso für die x-Werte, für die zu null wird. Letztere entsprechen den Wurzeln der Gleichung oder wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Der Zähler wird für keinen dieser Werte zu null, so daß die Funktion an den Stellen Unstetigkeitsstellen der gleichen Art hat wie der Punkt E in der obigen Abbildung.