Ebenengleichungen

Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Ebene, und umgekehrt ist die Gleichung jeder Ebene vom ersten Grade.

Allgemeine Ebenengleichung

Die allgemeine Ebenengleichung lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

wobei der Vektor senkrecht auf der Ebene steht. (In der Abbildung sind die Achsenabschnitte der Ebene a,b,c eingezeichnet.)

(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen)

Man spricht vom Normalenvektor der Ebene. Seine Richtungskosinusse sind

Wenn D = 0, dann geht die Ebene durch den Koordinatenursprung, für A = 0 bzw. B = 0 oder C = 0 ist die Ebene parallel zur x-Achse, bzw. zur y- oder z-Achse. Wenn bzw. A = C = 0 oder dann liegt die Ebene parallel zur x,y-Ebene, bzw. zur x,z- oder y,z-Ebene.

Hessesche Normalform der Ebenengleichung

Die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

wobei der Normaleneinheitsvektor der Ebene ist und p der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung. Die HESSEsche Normalform geht aus der allgemeinen Gleichung (3.399a) durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor

hervor. Dabei muß das Vorzeichen von entgegengesetzt zu dem von D gewählt werden.

(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)

Achsenabschnittsform der Ebenengleichung

Mit den Strecken die unter Berücksichtigung des Vorzeichens von der Ebene auf den Koordiantenachsen abgeschnitten werden, gilt:

Gleichung einer Ebene durch drei Punkte

Die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht, lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

(s. Spatprodukt dreier Vektoren).

Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden

Die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte geht und parallel zu einer Geraden mit dem Richtungsvektor liegt, lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

(S. auch Spatprodukt dreier Vektoren.)

Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt geht und parallel zu zwei Geraden mit den Richtungsvektoren und verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)

Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt geht und senkrecht zu einer Geraden mit dem Richtungsvektor verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten.)

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(a,b,c) in die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung (3.400a)

liefert

Wenn P und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist im entgegengesetzten Falle ist

Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen

Die Gleichung einer Ebene, die durch die Schnittlinie zweier Ebenen mit den Gleichungen
A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 und A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise

b) in Vektorschreibweise

Dabei ist ein reeller Parameter, so daß durch die Gleichungen (3.407a) und (3.407b) ein ganzes Ebenenbüschel beschrieben wird. Die folgende Abbildung zeigt den Fall eines Ebenenbüschels mit drei Ebenen.

Wenn in den Gleichungen (3.407a) oder (3.407b) die Werte zwischen und durchläuft, erhält man alle Ebenen des Büschels. Für erhält man die Gleichungen der Ebenen, die die Winkel zwischen den beiden gegebenen Ebenen halbieren, wenn deren Gleichungen in der Normalform gegeben sind.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in Vektorschreibweise (s. Vektorielle Gleichungen.)