Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung

Wendepunkte sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung der Kurve das Vorzeichen ändert.

Dabei liegt die Kurve in einer kleinen Umgebung dieses Punktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von dieser durchsetzt. Im Wendepunkt ist K = 0 und

Explizite Definitionsform der Kurve

Die explizite Definitionsform sei durch die Gleichung y=f(x) (3.501) gegeben.

a) Notwendige Bedingung

für die Existenz eines Wendepunktes ist das Verschwinden der 2. Ableitung

f''(x) = 0 (3.525)

im Wendepunkt, falls sie existiert (den Fall nicht existierender 2. Ableitung s. b) Hinreichende Bedingung). Die Bestimmung der Wendepunkte für den Fall existierender 2. Ableitungen erfordert das Aufsuchen aller Lösungen der Gleichung f''(x) = 0 mit den Werten wobei jeder Wert x_i nacheinander in die darauffolgenden Ableitungen einzusetzen ist. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle x_i nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Wenn der betrachtete Punkt kein Wendepunkt ist, weil sich die erste nicht verschwindende Ableitung k-ter Ordnung für geradzahliges k ergibt, dann weist die Kurve für f^(k)(x) < 0 mit der konkaven Seite nach oben; für f^(k)(x) > 0 nach unten.

b) Hinreichende Bedingung

für die Existenz eines Wendepunktes ist die Änderung des Vorzeichens der 2. Ableitung f''(x) beim Übergang von der links- zur rechtsseitigen Umgebung des Punktes x_i. Daher kann die Frage, ob ein gefundener x_i-Wert Abszisse eines Wendepunktes ist, aus der Betrachtung des Vorzeichens der 2. Ableitung beim Durchgang durch den zugehörigen Punkt ermittelt werden: Wenn sich das Vorzeichen bei diesem Durchgang ändert, liegt ein Wendepunkt vor. Dieses Verfahren ist auch für den Fall anwendbar.

Hinweis:

Wenn in der Praxis aus dem Kurvenverlauf folgt, daß ein Wendepunkt vorhanden sein muß, z.B. beim Übergang von einem Minimum zu einem Maximum bei einer Kurve mit stetiger Ableitung, dann beschränkt man sich auf die Bestimmung der x_i und läßt die Untersuchung der höheren Ableitungen weg.

Beispiel A

Wendepunkte A und B gibt es bei

Beispiel B

Wendepunkte sind nicht vorhanden.

Beispiel C

für x=0 ist
Beim Übergang von negativen zu positiven x-Werten wechselt die 2. Ableitung das Vorzeichen von - zu + , so daß die Kurve bei x = 0 einen Wendepunkt besitzt.

Andere Definitionsformen

Die notwendige Bedingung f''(x)=0 (3.525) für die Existenz eines Wendepunktes im Falle der Kurvenvorgabe über die Definitionsform y=f(x) (3.501) wird bei Vorgaben mit den anderen Formen durch die folgenden analytischen Formulierungen der notwendigen Bedingung ersetzt:

1. Definition in Parameterform gemäß (3.502):

2. Definition als Polargleichung gemäß (3.503):

3. Definition in impliziter Form gemäß (3.500):

In diesen Fällen liefert das Lösungssystem die Koordinaten der möglichen Wendepunkte.

Beispiel A

Betrachtung der verkürzten Zykloide :

Die Kurve hat unendlich viele Wendepunkte für die Parameterwerte

Beispiel B

Der Wendepunkt liegt bei dem Winkel

Beispiel C

Betrachtung der Hyperbel x² - y² = a² :
        
Die Gleichungen x² - y² = a² und 8(x² - y²) = 0 widersprechen einander, so daß die Hyperbel keinen Wendepunkt besitzt.