Drehung um eine beliebige Achse

Es geht dabei um eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den normierten Vektor mit um den Winkel in 5 Teilschritten:

1. Rotation von um die y-Achse bis zur x,y-Ebene:

mit (4.189a).
Ergebnis: Der Vektor liegt in der x,y-Ebene.

2. Rotation von um die z-Achse bis zur x-Achse:

mit (4.189b).
Ergebnis: Der Vektor ist parallel zur x-Achse.

3. Rotation um den Winkel um die x-Achse mit :

In den nächsten beiden Schritten werden die Rotationen und rückgängig gemacht (invertiert).

4. Inverse Rotation zur Rotation , d.h. Rotation um den Winkel

mit
um die z-Achse.

5. Inverse Rotation zur Rotation , d.h. Rotation um den Winkel

mit
um die y-Achse.

Damit ergibt sich als Gesamt-Matrix:

= (4.189f) =

Die Matrix ist eine orthogonale Matrix, d.h. die inverse Matrix ist gleich der transponierten Matrix.

Alternativ gilt die folgende Formel:

= (4.190a)

= (4.190b)

In dieser Formel wird der Vektor zunächst in einen zur Achse parallelen Vektor genauer die Projektion von auf und den orthogonalen Anteil zerlegt. Der orthogonale Anteil des Vektors liegt in der Ebene mit dem Normalenvektor und geht bei der Drehung über in mit dem aus durch eine (positive) Drehung um gewonnen Vektor

Damit ergibt sich als Ergebnis der Drehung der Vektor

Vorteile

• Standard-Darstellung in der Computergrafik,
• kann in CARDAN-Winkel umgerechnet werden,
• kein Gimbal Lock.

Nachteil

Für die Animation, d.h. Interpolation von Rotationen, ungeeignet.