Darstellung von Drehungen im dreidimensionalem euklidschem Raum

Drehungen im Raum erfolgen stets um eine Achse, die sogenannte Drehachse. Diese soll durch den Koordinatenursprung verlaufen. Sie wird durch die Wahl eines Richtungsvektors (auf der Achse) orientiert. Als positive Achsenrichtung wird die Richtung von gewählt. Blickt man in diese Richtung, dann erfolgt eine positive Drehung (Drehwinkel ) entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Allgemeinen wird der Richtungsvektor normiert vorgegeben, d.h. .
Außerdem bedeutet

(4.181)

daß die Rotationsmatrix den Vektor in den Vektor überführt oder anders ausgedrückt, entsteht aus dem Vektor durch die Drehung Da Rotationsmatrizen orthogonale Matrizen sind, gilt und (4.181) ist äquivalent zu

(4.182)

Hinweis

Bei Transformationen im Raum muß man unterscheiden zwischen

geometrischen Transformationen: d.h. geometrische Objekte werden bezüglich eines festen Koordinatensystems transformiert, und
Koordinatentransformationen: d.h. das Objekt bleibt fest, während das Koordinatensystem in Bezug auf das Objekt transformiert wird (s. Geometrische und Koordinatentransformationen).

Im Zusammenhang mit Quaternionen werden hier geometrische Transformationen behandelt.