Drehungen und Quaternionen

Mit gilt:

mit und d.h. der Einheitsquaternion .

Identifiziert man so gilt

Insbesondere ergeben sich die Spalten der Rotationsmatrix aus

Ergebnis:

• Die Rotationsmatrix kann mittels der Quaternion bestimmt werden.
• Für den rotierten Vektor gilt im Sinne der Quaternionenmultiplikation und der Identifikation des mit der Menge der reinen Quaternionen

Für jede Einheitsquaternion bestimmen q und -q dieselbe Drehung, so daß eine doppelte Überdeckung von SO(3) ist. Der Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht die Multiplikation der Quaternionen, d.h.

der inversen Rotation entspricht die konjugierte Quaternion, d.h.

Beispiel Quaternionen, Rotation um phi =60 Grad um die Achse (1,1,1)^T

Zuerst wird die Achse gemäß normiert. Dann ergibt sich mit und die Rotationsmatrix zu

Die die Rotation beschreibende Quaternion ist

Weiterhin ist

Die beiden anderen Spalten ergeben sich analog: