Quaternionen und Cardan-Winkel

Die Rotationsmatrix in CARDAN-Winkeln

ist gleich der Rotationsmatrix mit einer Einheitsquaternion Durch Vergleich von Matrix-Elementen erhält man

Die Lösung wird im Allgemeinen nicht eindeutig sein, wie das für trigonometrische Probleme typisch ist. Man kann aber durch eine Analyse des Definitionsbereichs der Winkel Eindeutigkeit erzielen.
Umgekehrt kommt man von der Rotationsmatrix leicht zur Einheitsquaternion. Es gilt

4q₀q₁ = (4.199a)

4q₀²-1 = 4q₀² -q₀² -q₁² -q₂² -q₃² =r₁₁ +r₂₂ +r₃₃. (4.199b)

Da q und -q die gleiche Rotation beschreiben kann man hieraus q₀ bestimmen zu:

Die anderen Komponenten ergeben sich zu

Beispiel Quaternionen, Drehungen um Cardan--Winkel

Gegeben sei die Rotationsmatrix

1. Bestimmung der CARDAN-Winkel:

Nach obigen Formeln ist und damit Weiterhin ist und damit und aus folgt Eindeutig können die Winkel z.B. durch Ermittlung der kleinstmöglichen  Rotation bestimmt werden, d.h. die Rotation, deren Winkel betragsmäßig sind. Damit ergeben sich die Winkel zu

2. Bestimmung der Einheitsquaternion, die diese Rotation erzeugt:

4q₀²-1 =

q₀ =

Man erhält als (kleinstmöglichen) Winkel so daß .

3. Bestimmung weiterer Komponenten von q und der Rotationsachse :

Hinweis

Für die praktische Ausführung der Rechnungen (4.199d) ergibt sich das Problem, daß q₀ Null sein kann bzw. fast Null. In diesem Fall kann man (4.199d) nicht zur Bestimmung der Einheitsquaternion benutzen. Um diesen Sachverhalt genauer zu erläutern betrachtet man die Spur der Rotationsmatrix:

Ist so ist und man kann problemlos durch q₀ dividieren und die Formeln (4.199d) verwenden.
Ist dagegen so kann q₀ nahe Null sein. In diesem Fall sucht man den größten Hauptdiagonalwert. Ist das z.B. so folgt daraus, daß |q₁| größer ist als |q₂| bzw. Die Komponenten lassen sich ebenfalls aus den Hauptdiagonalelementen der Rotationsmatrix bestimmen.

Es gilt (bei Wahl des positiven Vorzeichens für die Wurzel):

Daraus ergeben sich die folgenden Rechenregeln:

• Ist und und dann ist q₁ die betragsmäßig größte Komponente, und man berechnet
• Ist und und dann ist q₂ die betragsmäßig größte Komponente, und man berechnet
• Ist und und dann ist q₃ die betragsmäßig größte Komponente, und man berechnet

Da die CARDAN-Winkel die Rotationen um die entsprechenden Koordinatenachsen angeben, kann man die Zuordnungen der nachstehenden Tabelle treffen.

Drehung	CARDAN-Winkel	um	Quaternion
		x-Achse
		y-Achse
		z-Achse

Dann ist die die Rotation beschreibende Einheitsquaternion

Beispiel Bestimmung der Einheitsquaternion bei Kenntnis der Cardan-Winkel

Aus der Kenntnis der CARDAN-Winkel und kann die diese Rotation beschreibende Einheitsquaternion auch wie folgt bestimmt werden. Es ist

Q_x =

Q_y =

Q_z =

In Übereinstimmung mit dem voranstehenden Beispiel ergibt sich