Rechenregeln

Neben den bereits formulierten Rechenregeln gelten noch die folgenden Rechenregeln:

1. Addition und Subtraktion:

Tensoren gleicher Stufe, deren einander entsprechende Indizes beide kovariant oder beide kontravariant stehen, werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert und liefern einen Tensor der gleichen Stufe.

2. Multiplikation:

Die Multiplikation der Koordinaten eines Tensors n-ter Stufe mit denen eines Tensors m-ter Stufe ergibt stets einen Tensor der Stufe m+n.

3. Verjüngung:

Setzt man in einem Tensor n-ter Stufe einen kovariant und einen kontravariant stehenden Index einander gleich und summiert entsprechend der EINSTEINschen Summenkonvention über diesen Index, dann entsteht ein Tensor der Stufe n-2. Diese Operation heißt Verjüngung.

4. Überschiebung:

Unter Überschiebung zweier Tensoren versteht man folgende Operation: Beide Tensoren werden multipliziert, und anschließend wird eine Verjüngung des Ergebnisses derart vorgenommen, daß die Indizes, nach denen verjüngt wird, verschiedenen Faktoren angehören.

5. Symmetrie:

Ein Tensor heißt symmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung nicht ändert.

6. Schiefsymmetrie:

Ein Tensor heißt schiefsymmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung mit -1 multipliziert.

Beispiel

Der Epsilontensor ist schiefsymmetrisch bezüglich zweier beliebiger kovarianter oder kontravarianter Indizes.