Symmetriegruppen in der Quantenmechanik

Lineare Koordinatentransformationen, die den HAMILTON-Operator eines quantenmechanischen Systems) invariant lassen, repräsentieren eine Symmetriegruppe , deren Elemente g mit kommutieren:

Die Vertauschbarkeit von g und bedeutet, daß bei Anwendung des Operatorproduktes aus g und auf einen Zustand die Reihenfolge der Operatorwirkung beliebig ist:

Folglich gilt: Wenn die Eigenzustände von zum n-fach entarteten Eigenwert E sind, d.h.

dann sind auch die transformierten Zustände Eigenzustände zum gleichen Eigenwert E:

Die transformierten Zustände können als Linearkombinationen der Eigenzustände geschrieben werden:

Die Eigenzustände bilden demzufolge die Basis eines n-dimensionalen Darstellungsraumes für eine Darstellung D(G) der Symmetriegruppe G des HAMILTON-Operatots mit den Darstellungsmatrizen . Diese Darstellung ist irreduzibel, wenn keine versteckten  Symmetrien vorliegen. Man kann feststellen, daß sich die Energie-Eigenzustände eines quantenmechanischen Systems durch die irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppen des HAMILTON-Operators klassifizieren lassen.
Die Darstellungstheorie von Gruppen liefert damit qualitative Aussagen über solche Strukturen des Energiespektrums eines quantenmechanischen Systems, die allein auf seine äußeren oder inneren Symmetrien zurückgehen. Auch die Aufspaltung entarteter Energieniveaus unter dem Einfluß einer Störung, die die Systemsymmetrie bricht, und die Auswahlregel für die Matrixelemente der Übergänge zwischen Energie-Eigenzuständen folgen aus der Untersuchung der Darstellungen, nach denen sich die beteiligten Zustände und Operatoren unter Gruppenoperationen transformieren.
Die Anwendung der Gruppentheorie in der Quantenmechanik wird ausführlich in der Literatur dargestellt, z.B. in [5.11], [5.13], [5.20], [5.21], [5.22].