Spezielle unitäre Gruppe SU(2)

Die Spin- und Isospinfunktionen eines Teilchens transformieren sich nach irreduziblen Darstellungen der speziellen unitären Gruppe SU(n) in zwei Dimensionen, , deren Elemente durch drei reelle Parameter chraktersisiert werden. Die zugehörige LIE-Algebra su(2) wird durch die drei infinitesimalen Generatoren

aufgespannt. Die antihermiteschen und spurlosen Matrizen

heißen PAULI-Matrizen. Es gelten die Vertauschungsrelationen

Die quantenmechanischen Spin- oder Isospinoperatoren sind gegeben durch

mit den Vertauschungsrelationen

Da die infinitesimalen Generatoren gemäß (5.192) untereinander nicht kommutieren, ist die LIE-Algebra su(2) vom Rang .
Die irreduziblen Darstellungen von SU(2) werden also durch eine einzige Zahl bestimmt. Benachbarte Gewichte unterscheiden sich um ; die Dimension der Darstellung ist 2s+1 mit den Gewichten .
Hinweis: Die Vertauschungsrelationen (5.192) zwischen den Basiselementen der LIE-Algebra su(2) entsprechen den Vertauschungsrelationen (5.151) zwischen den Generatoren die LIE-Algebra , so daß beide Algebren bei identischen Strukturkonstanten isomorph sind. Damit sind auch die Gruppen SO(3) und SU(2) in der Umgebung des neutralen Elements lokal isomorph, was für die globalen Gruppen nicht gilt.
Die Isomorphie von su(2) und so(3) macht auch deutlich, weshalb man den Spin eines Teilchens als Eigendrehimpuls interpretieren kann. Zu jeder Drehung gehören genau zwei Matrizen in . Man bezeichnet SU(2) deshalb auch als Überdeckungsgruppe von ; SU(2) überdeckt SO(3) zweifach.