Direkte Produkte

1. Definition des direkten Produktes

Es seien A und B Gruppen, deren Gruppenoperation (z.B. Addition oder Multiplikation) mit bezeichnet sein soll. Im kartesischen Produkt A x B (5.64a) kann man durch die folgende Vorschrift eine Operation * einführen:

Damit wird A x B zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von A und B genannt wird.
Mit (e,e) wird das Einselement von A x B bezeichnet, und (a^-1,b^-1) ist das inverse Element zu .
Für endliche Gruppen A,B gilt

Die Gruppen bzw.  sind zu A bzw. B isomorphe Normalteiler von
Das direkte Produkt ABELscher Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen A, B ist genau dann zyklisch, wenn der größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist.

Beispiel A

Mit Z₂={e,a} und Z₃={e,b,b²} wird Z₂ x Z₃={(e,e),(e,b),(e,b²),(a,e),(a,b),(a,b²)} eine zu Z₆ isomorphe Gruppe, die u.a. von (a,b) erzeugt wird.

Beispiel B

Andererseits ist Z₂ x Z₂={(e,e),(e,b),(a,e),(a,b)} nicht zyklisch. Diese Gruppe der Ordnung 4 wird auch KLEINsche Vierergruppe genannt und beschreibt die Deckabbildungen eines Rechtecks.

2. Basissatz für ABELsche Gruppen

Da die Bildung des direkten Produktes eine Konstruktion ist, mit der aus kleineren  Gruppen größere  gewonnen werden, entsteht umgekehrt die Frage, wann lassen sich große Gruppen G als direktes Produkt kleinerer Gruppen A,B darstellen, d.h., wann ist G isomorph zu A x B ? Für ABELsche Gruppen gibt darüber der sogenannte Basissatz Auskunft:
Jede endliche ABELsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der Primzahlpotenzordnung darstellbar.