Homomorphiesatz für Gruppen

Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers N in einer Gruppe G wird bezüglich der Operation

zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von G nach N, die mit G/N bezeichnet wird.
Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen homomorphen Bildern und Faktorgruppen einer Gruppe und wird deshalb Homomorphiesatz für Gruppen genannt:
Ein Gruppenhomomorphismus bestimmt einen Normalteiler von G₁, nämlich Die Faktorgruppe ist isomorph zum homomorphen Bild . Umgekehrt bestimmt jeder Normalteiler N von G₁ eine homomorphe Abbildung mit nat_N (a) = aN. Diese Abbildung nat_N wird natürlicher Homomorphismus genannt.

Beispiel

Weil die Determinantenbildung ein Gruppenhomomorphismus mit dem Kern SL(n) ist, bildet SL(n) einen Normalteiler von und es gilt (nach dem Homomorphiesatz): GL(n)/SL(n) ist isomorph zur multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen. Bezeichnungen s. Normalteiler.