Reduzible und irreduzible Darstellungen

Wenn der Darstellungsraum einen gegenüber den Gruppenoperationen invarianten Unterraum (m <n) besitzt, dann können die Darstellungsmatrizen durch eine geeignete Basistransformation T in auf die Form

gebracht werden. und sind selbst Matrixdarstellungen von mit den Dimensionen m bzw. .
Existiert in kein echter invarianter Unterraum, dann nennt man die Darstellung D(G) irreduzibel. Die Anzahl der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe ist endlich. Läßt sich eine Basistransformation T finden, die in eine direkte Summe von invarianten Teilräumen überführt, d.h.

dann geht die Darstellungsmatrix für jedes nach einer Ähnlichkeitstransformation mit in Block-Diagonalform ( in (5.125)) über:

Eine solche Darstellung heißt vollständig reduzibel.
Hinweis: Bei naturwissenschaftlichen Anwendungen der Gruppentheorie besteht eine fundamentale Aufgabe darin, die Klassifizierung aller inäquivalenten irreduziblen Darstellungen einer gegebenen Gruppe zu finden.

Beispiel

Die in (5.117) angegebene Darstellung der symmetrischen Gruppe S₃ ist reduzibel. Durch die Basistransformation erhält man z.B. für die Darstellungsmatrix der Permutation p₃:

mit als identische Darstellung von S₃ und .