Charakter eines Gruppenelements

Der Charakter eines Gruppenelements a in einer Darstellung D(G) ist definiert als Spur der Darstellungsmatrix (Summe der Hauptdiagonalelemente):

Der Charakter des neutralen Elemenmts e liefert die Dimension n der Darstellung: . Da die Spur einer Matrix bei Ähnlichkeitstransformationen invariant bleibt, hat das Gruppenelement a in äquivalenten Darstellungen den gleichen Charakter.

Beispiel

Es wird eine dreidimensionale Darstellung der symmetrischen Gruppe S₃ betrachtet. Von drei Teilchen mit den Koordinaten x₁,x₂,x₃ besetzen in einem Schalenmodell der Atom- oder Kernphysik zwei Teilchen den Zustand , und ein Teilchen befindet sich im Zustand (Konfiguration ). Die möglichen Besetzungen bilden eine Basis {e₁,e₂,e₃} in einem dreidimensionalen Vektorraum zur Darstellung der symmetrischen Gruppe . Die Matrixelemente der Darstellungsmatrizen können entsprechend (5.108) durch Anwendung der Gruppenelemente (5.92) auf die Koordinatenindizes in den Basiselementen e_i gewonnen werden. So gilt z.B.:

p₁ e₁ =

p₁ e₂ =

p₁ e₃ = (5.116)

Man findet insgesamt:

Für die Charaktere ergibt sich: