Drehgruppe SO(3)

Gemäß (5.145) spannen die Komponenten des Bahndrehimpulsoperators die LIE-Algebra so(3) der Drehgruppe SO(3) auf, so daß sich eine Funktion bei infinitesimalen Drehungen mit dem Winkel um die z-Achse gemäß

transformiert. Da alle infinitesimalen Generatoren nicht untereinander kommutieren,

erhält man für den Rang von so(3) den Wert , d.h., in so(3) kann eine Basis so gewählt werden, daß höchstens einer der drei Generatoren durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Als Standardbasis wird im allgemeinen

eingeführt, wobei die Leiteroperatoren sind.
Nach dieser Basistransformation gelten für die Elemente der neuen Basis

Der Raum, in dem die Wurzeln und Gewichte der LIE-Algebra so(3) dargestellt werden können, ist eindimensional . Gemäß (5.165a) besteht das System der Wurzelvektoren aus .

Die Gewichte m der inäquivalenten irreduziblen Darstellungen von so(3) (und damit von SO(3)) sind ganzzahlig und unterscheiden sich um 1. Das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung von so(3) sei , der zugehörige Eigenvektor wird mit bezeichnet. Die Eigenvektoren zu möglichen anderen Gewichten erhält man durch sukzessive Anwendung des Leiteroperators E_- auf bis der Eigenvektor zu m =-l erreicht ist . In jedem Schritt wird das Gewicht gemäß (5.161) reduziert von m auf . Das Gewichtsdiagramm einer irreduziblen Darstellung D^l von SO(3) mit dem höchsten Gewicht besteht also aus allen Punkten auf der Zahlengeraden (s. obige Abbildung).
Die Darstellung ist damit 2l+1-dimensional. Die Basisvektoren im Darstellungsraum sind die Eigenfunktionen des Operators der z-Komponente des Bahndrehimpulses zum Eigenwert ,

so daß die Gewichte m der irreduziblen Darstellung von SO(3) physikalisch die möglichen Meßwerte für die Projektion des Bahndrehimpulses auf die Quantisierungsachse (z-Achse) bedeuten (Richtungsquantelung). Da der CASIMIR-Operator mit allen Generatoren kommutiert,

sind die Funktionen auch Eigenfunktionen zum Quadrat des Drehimpulsoperators. Die Eigenwerte sind :

Die Zahl , die die irreduzible Darstellung von SO(3) spezifiziert, legt also noch den Betrag des Drehimpulses fest.
Bei endlichen dreidimensionalen Drehungen um die EULERschen Winkel transformieren sich die Funktionen untereinander gemäß