Beispiel Dirichletsches Problem

für das Rechteck Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.

wird die Lösung der LAPLACEschen Differentialgleichung vom elliptischen Typ

mit Hilfe einer Funktion u(x,y) gesucht, die auch die Randbedingungen

erfüllt.
Als erster Schritt wird eine partikuläre Lösung für die Randbedingungen bestimmt. Einsetzen des Produktansatzes

u=X(x)Y(y) (9.102c)

in (9.102a) ergibt die Differentialgleichungen

mit dem Eigenwert in Analogie zu den oben betrachteten Aufgaben A bis C. Da X(0) =X(a) =0 gilt, ergibt sich

Im zweiten Schritt wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

in der Form

hingeschrieben. Daraus ergibt sich für die Randbedingungen u(0,y)=u(a,y) =0 eine partikuläre Lösung von (9.102a) in der Form

Im dritten Schritt wird die allgemeine Lösung als Reihe

angesetzt, so daß sich aus den Randbedingungen für y = 0 und y = b

mit den Koeffizienten

ergibt.
In Analogie dazu wird die Aufgabe für die Randbedingungen gelöst, die in der Summe mit (9.102j) die allgemeine Lösung von (9.102a) und (9.102b) bildet.