Beispiel Wärmeleitungsgleichung

Die Wärmeausbreitung in einem homogenen Stab, dessen eines Ende im Unendlichen liegt, während das andere unter konstanter Temperatur gehalten wird, beschreibt die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom parabolischen Typ

die im Gebiet den Anfangs- und Randbedingungen

genügt. Dabei soll angenommen werden, daß die Temperatur im Unendlichen Null beträgt. Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet (s. auch Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium).
Der Separationsansatz

eingesetzt in (9.103a), liefert die Beziehung

wobei der Parameter in Analogie zu dem Vorgehen in den Beispielen A bis D eingeführt wird. Als Lösung für T(t) erhält man

Für X(x) ergibt sich mit der Randbedingung X(0) = 0

und somit

wobei eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Lösung kann daher in der Form

angesetzt werden. Aus der Anfangsbedingung u|_t=0 =f(x) folgt die Gleichung

die erfüllt ist, wenn für die Konstante

wie bei der Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten gesetzt wird. Einsetzen in in (9.103i) ergibt

und nach Ersetzen des Produkts der Sinus- durch eine Differenz von Kosinusfunktionen (2.114) und unter Benutzung von Formel (23.46) in der Tabelle bestimmter Integrale erhält man schließlich