Beispiel Membranschwingungsgleichung

Beschreibung der Schwingungen einer runden, am Rande eingespannten Membran.
Die Differentialgleichung ist linear, partiell und vom hyperbolischen Typ. Sie hat in kartesischen Koordinaten bzw. in Polarkoordinaten die Form

Die Anfangs- und Randbedingungen lauten

Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet. Einsetzen des Produktansatzes für die drei Variablen

in die Differentialgleichung in Polarkoordinaten liefert

Daraus ergeben sich in Analogie zu den vorangegangenen Beispielen Saitenschwingungsgleichung und Stabschwingungsgleichung die folgenden Differentialgleichungen:

bzw.

Aus den Bedingungen folgt

Aus und U(R) =0 werden U und bestimmt. Berücksichtigung der selbstverständlichen Bedingung der Beschränkung von für und Substitution von ergibt

wobei J_n die BESSELschen Funktionen sind mit und . Das Funktionensystem

mit als k-te positive Nullstelle der Funktion J_n(z) ist ein vollständiges System aller Eigenfunktionen des selbstadjungierten Problems vom STURM-LIOUVILLEschen Typ, die orthogonal mit dem Gewicht sind.
Die Lösung der Aufgabe wird in der Gestalt der Doppelreihe

U = (9.101n)

angesetzt. Aus den Anfangsbedingungen folgt für t =0

woraus sich ergibt

Im Falle n =0 ist die im Zähler stehende 2 durch eine 1 zu ersetzen. Zur Bestimmung der Koeffizienten c_nk und d_nk wird durch in den Formeln für a_nk und b_nk ersetzt und mit multipliziert.