Greensche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen

Diese Methode zeigt viel Ähnlichkeit mit der RIEMANNschen Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems für hyperbolische Differentialgleichungen.
Bei der Lösung der Aufgabe, eine Funktion u(x,y) zu finden, die in einem vorgegebenen Gebiet der linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung vom elliptischen Typ

genügt und auf dem Rande dieses Gebiets vorgegebene Werte annimmt, wird als erster Schritt die GREENsche Funktion für dieses Gebiet bestimmt, wobei und als Parameter aufgefaßt werden. Die GREENsche Funktion muß die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. Die Funktion genügt im gegebenen Gebiet überall, ausgenommen den Punkt der homogenen konjugierten Differentialgleichung
2. Die Funktion ist von der Form

   mit

   wobei U im Punkt den Wert Eins hat und die Funktionen U und V im gesamten Gebiet zusammen mit ihren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung einschließlich stetig sein müssen.

3. Die Funktion wird auf dem Rande des betrachteten Gebiets gleich Null.

Der zweite Schritt ist die Lösung des Randwertproblems mit Hilfe der GREENschen Funktion nach der Formel

wobei D das betrachtete Gebiet bedeutet, S dessen Rand, auf dem die Funktion gegeben ist, und die Ableitung nach der Richtung der Innennormalen des Randes.
Die Bedingung 3 hängt von der Art der zu lösenden Aufgabe ab. Wenn z.B. auf dem Rande des betrachteten Gebiets nicht die gesuchte Funktion selbst gegeben ist, sondern ihre Ableitung nach der Randnormalen, dann muß in Bedingung 3 die Forderung

auf dem Rande erhoben werden. Mit und werden hierbei die Winkel bezeichnet, die die innere Normale des Randes mit den Koordinatenachsen bildet. Die Lösung lautet in diesem Falle