Beispiel Telegraphengleichung

Telegraphengleichung nennt man die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom hyperbolischen Typ

mit den Konstanten und , die das Fließen des elektrischen Stromes in Leitungen beschreibt. Sie stellt eine Verallgemeinerung der Saitenschwingungsgleichung dar.
Die unbekannte Funktion u(x,t) wird durch die Substitution u =ze^-(b/a)t ersetzt, so daß (9.105a) übergeht in

Durch die Substitutionen der unabhängigen Variablen

erhält man schließlich die Normalform

der linearen partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ.
Dieser Differentialgleichung muß die RIEMANNsche Funktion genügen und für sowie den Wert Eins annehmen. Wenn in v = f(w) für w die Gestalt

gewählt wird, dann ist f(w) eine Lösung der Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung . Die Substitution überführt diese Differentialgleichung in die BESSELsche Differentialgleichung nullter Ordnung

so daß die Lösung lautet

Eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.105a) mit den Anfangsbedingungen

kann erhalten werden, indem man den gefundenen Wert von v in die RIEMANNsche Formel einsetzt und zu den ursprünglichen Variablen zurückkehrt: