Exakte Differentialgleichung

Exakte Differentialgleichung wird eine Gleichung der Form

genannt, wenn eine Funktion existiert, die der Gleichung

genügt, d.h. wenn die linke Seite von (9.9a) das totale Differential einer Funktion ist. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichung (9.9a) eine exakte Differentialgleichung ist, besteht darin, daß die Funktionen M(x,y) und N(x,y) sowie ihre partiellen Ableitungen 1.  Ordnung in einem einfach zusammenhängenden Gebiet stetig sind und die Bedingung

erfüllen. Das allgemeine Integral von (9.9a) ist in diesem Falle die Funktion

die gemäß Berechnung der Stammfunktion (8.132b) als Integral

berechnet werden kann, wobei x₀ und y₀ beliebig gewählt werden können.