Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Den allgemeinen nichtrelativistischen Fall eines spinlosen Teilchens mit der Masse m und der Geschwindigkeit v im orts- und zeitabhängigen Potentialfeld U(x₁,x₂,x₃,t) beschreibt die zeitabhängige SCHR¨ODINGER-Gleichung (9.118a). Die unter Besonderheiten aufgeführten speziellen Bedingungen, denen die Wellenfunktion genügen muß, lauten:

1. Die -Funktion muß beschränkt und stetig sein.
2. Die partiellen Ableitungen und müssen stetig sein.
3. Die Funktion muß integrierbar sein, also muß

   gelten.

Gemäß Normierungsbedingung muß die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im betrachteten Gebiet zu finden, gleich 1 sein. Dazu reicht (9.119a) aus, weil das Integral stets durch einen Faktor vor auf 1 gebracht werden kann.

Eine Lösung der zeitabhängigen SCHR¨ODINGER-Gleichung hat die Form

Der Zustand des Teilchens wird in einem Zeitpunkt t durch eine periodische Funktion von der Zeit mit der Kreisfrequenz beschrieben. Wenn die Energie des Teilchens in dem Zustand den festen Wert besitzt, dann hängt die Wahrscheinlichkeit , es in einem Raumelement dV zu finden, nicht von der Zeit ab:

Man spricht vom stationären Zustand des Teilchens.