Lösungen

Lösungen der drei Gleichungen (9.140c) sind die Funktionen

mit den Konstanten . Damit erfüllt die Randbedingungen für und . Um die Bedingung auch für und z = c zu erfüllen, muß

gelten, d.h., es müssen die Beziehungen

erfüllt sein, in denen und n_z ganze Zahlen sind.
Für die Gesamtenergie erhält man damit

woraus folgt, daß Energieänderungen des Teilchens durch Austausch mit der Umgebung nicht kontinuierlich, sondern lediglich in Quanten möglich sind. Die Zahlen und , die zu den Eigenwerten der Energie gehören, werden Quantenzahlen genannt.
Nach der Berechnung des Konstantenprodukts A_xA_yA_z aus der Normierungsbedingung

ergeben sich die vollständigen Eigenfunktionen des durch die drei Quantenzahlen charakterisierten Zustandes zu

Die Eigenfunktionen verschwinden an den Wänden, weil eine der drei Sinusfunktionen gleich Null ist. Außer an den Wänden ist das immer dann der Fall, wenn die Beziehungen

x =

y = (9.141g)

z =

erfüllt sind. Somit gibt es n_x-1 bzw. n_y-1 bzw. n_z-1 Ebenen senkrecht zur x- bzw. y- bzw. z-Achse, in denen verschwindet. Diese Ebenen heißen Knotenebenen.