Periodische Muster und nichtlineare Wellen

Solche nichtlinearen Erscheinungen treten in einer Reihe von klassischen dissipativen (d.h. Reibung oder Dämpfung enthaltenden) Systemen auf, wenn eine äußere Kraft hinreichend groß ist. Befindet sich z.B. eine Flüssigkeitsschicht im Gravitationsfeld, und wird sie von unten erwärmt, so entspricht die Temperaturdifferenz zwischen ihrem unterem und oberem Rand einer äußeren Kraft. Durch die Erwärmung steigt die untere Schicht, so daß die Schichtung instabil wird. Bei hinreichend großer Temperaturdifferenz geht die instabile Schichtung spontan in periodisch angeordnete Konvektionszellen über. Man spricht von Gabelverzweigung oder Bifurkation aus dem nur wärmeleitenden Zustand (ohne Konvektion) in die wohlgeordnete RAYLEIGH-BENARD-Konvektion. Eine Wegnahme der äußeren Kraft führt infolge der Dissipation zum Abklingen der Wellen (hier der zellularen Konvektion). Eine Verstärkung der äußeren Kraft stört die geordnete Konvektion bis hin zur turbulenten Konvektion (Chaos). Auch bei chemischen Reaktionen können derartige Phänomene auftreten.
Wichtige Beispiele für Gleichungen solcher Phänomene sind:

1. Komplexe GINSBURG-LANDAU-(GGL)-Gleichung, generalisiert von STUART und NEWELL:
2. KURAMOTO-SIVASHINSKY-(KS)-Gleichung:

Im Unterschied zu den oben genannten Gleichungen (KdV, NLS, SG), die keine Dissipation enthalten, handelt es sich bei der GGL- und der KS-Gleichung um nichtlineare dissipative Gleichungen. Neben raum-zeitlich periodischen Lösungen (nichtlineare Wellen) haben sie auch raum-zeitlich ungeordnete (chaotische) Lösungen. Charakteristisch ist das Auftreten raum-zeitlicher Muster oder Strukturen einschließlich des Überganges zum Chaos.