Gleichung und Lösungen

Die NLS-Gleichung für die Evolutionsfunktion u lautet

Für den Fall +     lautet die Lösung

Hier ist u(x,t) komplex. Das NLS-Soliton ist durch die 4 dimensionslosen Parameter und charakterisiert. Die Einhüllende des Wellenpakets bewegt sich mit der Geschwindigkeit , die Phasengeschwindigkeit der eingehüllten Welle ist .
Im Unterschied zum KdV-Soliton (9.161) können hier die Amplitude (über ) und die Geschwindigkeit (über ) unabhängig voneinander gewählt werden.
Im Falle von N wechselwirkenden Solitonen werden diese durch 4N willkürlich wählbare Parameter charakterisiert: . Falls die Solitonen verschiedene Geschwindigkeiten haben, zerfällt die N-Solitonenlösung asymptotisch für in eine Summe von N individuellen Solitonen der Form (9.165b).

Die Abbildung zeigt eine Darstellung des Realteiles von (9.165b) mit und .
Die Lösungen der Form (9.165b) werden oft helle Solitonen genannt und lösen die fokussierende NLS-Gleichung (9.165a) für den Fall + . Für die defokussierende NLS-Gleichung (Fall - ) gibt es Solitonen, bei denen |u|² am Ort des Solitons reduziert wird gegenüber einem konstanten Hintergrund . Solche dunklen Solitonen haben die Form

und werden durch die drei Parameter , v und charakterisiert. Sie propagieren mit der Geschwindigkeit auf einem Hintergrund mit trivialer (flacher) Phase (s. [9.56], [9.51]).

Eine allgemeinere Lösung hat zusätzlich einen Phasengradienten, den man als Geschwindigkeit c des Hintergrundes interpretieren kann, relativ zu dem sich das Soliton bewegt. Die Lösung sieht dann folgendermaßen aus:

Neben diesen exponentiell lokalisierten solitären Wellen sind auch periodische Lösungen der NLS-Gleichung bekannt, die man als Wellenzüge von Solitonen verstehen kann. Man findet solche Lösungen aus der Forderung nach Stationärität und durch Integration der verbleibenden gewöhnlichen Differentialgleichung. Im Allgemeinen werden solche Lösungen durch elliptische JACOBI-Funktionen beschrieben. Einige relevante Lösungen findet man in den Veröffentlichungen [9.36].