Gleichung und Lösungen

Die SG-Gleichung für die Evolutionsfunktion u lautet

Sie besitzt die folgenden Solitonlösungen:

Kink-Soliton

wobei und -1<v<+1 gilt.
In der Abbildung ist das Kink-Soliton (9.169) der Gleichung (9.168) für v=1/2 dargestellt.

Das Kink-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter v und x₀ bestimmt, die Geschwindigkeit ist unabhängig von der Amplitude, die Zeit- und die Ortsableitung sind gewöhnliche lokalisierte Solitonen:

Antikink-Soliton

Kink-Antikink-Soliton

Mit v=0 entsteht aus (9.169) bzw. (9.171) ein statisches Kink-Antikink-Soliton:

Weitere Lösungen von (9.168) sind:

Kink-Kink-Kollision

Kink-Antikink-Kollision

Doppel- oder Breather-Soliton, auch Kink-Antikink-Dublett

Diese Gleichung (9.175) stellt eine stationäre Welle dar, deren Einhüllende mit der Frequenz moduliert ist.

Örtlich periodisches Kink-Gitter

Zwischen Wellenlänge und Gitterkonstante k besteht die Beziehung

Für und damit , also ergibt sich

d.h. wieder das Kink-Soliton (9.169) und das Antikink-Soliton (9.171) mit .

Hinweis: Mit snx ist eine JACOBIsche elliptische Funktion mit dem Modul k und der Periode K bezeichnet:

Die Gleichung (9.177b) geht aus der inversen Funktion (14.102b) zum elliptischen Integral 1. Gattung durch die Substitution hervor.
Die Reihenentwicklung des vollständigen elliptischen Integrals ist als Gleichung (8.104) angegeben.