Gleichung und Lösungen

Die GGL-Gleichung für das komplexe Feld u(x,t) lautet

wobei die beiden komplexen Parameter b,c systemspezifisch sind. Die Gleichung (9.186) ist ein Beispiel für eine nichtlineare dissipative Evolutionsgleichung.

1. 

Für und geht (9.186) nach einer geeigneten Transformation in die NLS-Gleichung (9.165a) über.

2. 

Der Spezialfall und (GINSBURG-LANDAU-(GL)-Gleichung) ist eine wichtige Gleichung der statistischen Physik des thermodynamischen Gleichgewichtes und irreversibler Prozesse. Sie beschreibt die Supraleitung in der Nähe des Phasenüberganges Supra-Normalleitung. In dissipativen strukturbildenden Prozessen, wie z.B. der RAYLEIGH-BÉNARD-Konvektion beschreibt u(x,t) die Einhüllende einer stationären, räumlich periodischen Struktur

Lösungen einfacher Art sind ebene Wellen:

Lösungen existieren für |q|<1 und sind stabil gegenüber schwachen langwelligen Störungen v_q(x,t) in einem Bereich von Wellenlängen

wobei q_c die ECKHAUS-Wellenzahl ist. Für 1+bc <0 (NEWELL-Kriterium) sind keine der Wellen (9.188) stabil (BENJAMIN-FEIR-Instabilität) und die Lösungen von (9.186) sind raum-zeitlich ungeordnet; man spricht dann auch vom raum-zeitlichen Chaos.
In zwei Raumdimensionen besitzt (9.186) mit der Ersetzung Spirallösungen, wie sie z.B. bei chemischen Reaktionen zu beobachten sind.
Auf Grund der Nichtlinearität sind lineare Superpositionen der Wellen (9.188) keine Lösungen von (9.186).