Problemstellung

Die inverse Streutheorie [9.32], [9.53] erlaubt es, bestimmte nichtlineare partielle Differentialgleichungen

analytisch zu lösen. Voraussetzung für die Anwendung dieser Methode ist eine besondere Struktur der Bewegungsgleichung, die der Existenz eines LAX-Paares entspricht. Beispiele sind die KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung, die nichtlineare SCHR¨ORDINGER-Gleichung und die Sinus-GORDON-Gleichung.
Bei dieser Methode wird die nichtlineare partielle Differentialgleichung auf lineare Differentialgleichungen transformiert, deren Bewegungsgleichung einfach zu lösen ist. Die wesentliche Schwierigkeit besteht im Auffinden dieser linearen Gleichungen.
Ihren Namen hat die Methode von der Analogie zu kernphysikalischen Streuproblemen: Die physikalische Größe in der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung wird als ein Streupotential aufgefaßt. Das Streupotential , das auf die einfallenden Wellen wirkt, ändert sich zeitlich entsprechend der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung. Diese Wellen stellen ein gedachtes Hilfsfeld dar (Schritt 1 in der Abbildung). In der Kernphysik bezeichnet das Potential eines Atomkerns, und beschreibt die Wellenfunktion von einfallenden Elektronen.
Für lassen sich Bewegungsgleichungen aufstellen und in der Zeit entwickeln. Es ist dabei ausreichend, das Lösungsverhalten von für zu kennen. So erhält man die Streudaten aus den Streudaten zu einem früheren Zeitpunkt (Schritt 2).
Aus dieser Lösung läßt sich die Lösung explizit berechnen (Schritt 3). Auf diesem Umweg läßt sich die nichtlineare partielle Differentalgleichung lösen (Schritt 4). Die inverse Transformation erfordert die Lösung einer linearen Integralgleichung (GELFAND-LEVITAN-MARCHENKO-Gleichung).
Die Lösung der partiellen Differentialgleichung mit der inversen Streutheorie erfordert somit drei Schritte:

1. Formulierung des Streuproblems durch das LAX-Paar,
2. Zeitentwicklung der Streudaten durch Lösung der Bewegungsgleichung von für ,
3. Rekonstruktion des Streupotentials aus den Streudaten mit Hilfe der GELFAND-LEVITAN-MARCHENKO-Gleichung.