Lax-Paar

Ein LAX-Paar [9.40], [9.45] ist ein Paar von Operatoren L und B, durch das eine partielle Differentialgleichung

dargestellt werden kann. Der Operator L hängt dabei von der Lösung der partiellen Differentialgleichung ab. B ist ein selbstadjungierter Operator. (9.195) entspricht der Differentialgleichung

iL_t=BL-LB (9.196)

für den Operator L. Zur Vereinfachung wird die Abhängigkeit der Operatoren von x und t im Folgenden nicht immer aufgeschrieben.

Beispiel A Drift-Gleichung

SCHRÖDINGER-Operator

ergibt , .

Der LAX-Gleichung entspricht also die einfache partielle Differentialgleichung

Beispiel B Korteweg-De-Vries-Gleichung

L ist wieder der SCHRÖDINGER-Operator. Daraus folgt , und für (9.195) ergibt sicht die KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung . Die Transformation führt auf die Form der KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung u_t+6uu_x+u_xxx =0.

Die Zeitentwicklung von L(t) kann durch den Evolutionsoperator U(t) dargestellt werden:

U ist ein unitärer Operator, es gilt also , wobei I der Einheitsoperator ist. Ferner gilt . Der Ausdruck

ist zeitunabhängig. Differenziert man (9.200) nach der Zeit, so folgt

Die zeitliche Entwicklung von U kann mit Hilfe eines selbstadjungierten Operators B durch die Differentialgleichung

iU_t =BU (9.202)

beschrieben werden. Setzt man (9.202) in die Bedingung (9.201) ein und multipliziert von links mit U und von rechts mit , so ergibt sich iBL +L_t -iLB =0, was der Operatorgleichung (9.196) entspricht.

Die Existenz eines LAX-Paares ist eine Eigenschaft, die nur wenige partielle Differentialgleichungen besitzen. Bekannte Beispiele sind die KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung, die nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung und die Sinus-GORDON-Gleichung.