Hirota-Methode

Die HIROTA-Methode [9.40], [9.43], ermöglicht die Konstruktion von Lösungen bestimmter partieller Differentialgleichungen. Durch die Transformation

läßt sich die KdV-Gleichung

u_t+u_xxx+6uu_x=0

in der reduzierten Form

darstellen. Die Gleichung (9.226) sieht zwar noch komplizierter aus als die KdV-Gleichung, hat aber den Vorteil, daß für jede Lösung f(x,t) die Funktion h(t)f(x,t) ebenfalls eine Lösung ist. (9.226) läßt sich einfach durch Summen von Exponentialfunktionen lösen. Mit dem Ansatz

erhält man die Solitonen-Lösung

In ähnlicher Weise lassen sich mit dem Ansatz mit , a₁₂ =((k₁ -k₂)/(k₁ +k₂))² zwei Solitonen konstruieren. Dieses Verfahren lässt sich für beliebig viele Solitonen fortsetzen.

Die Gleichung (9.226) kann kompakt mit Hilfe des bilinearen Ableitungsoperators

aufgeschrieben werden. Der Ausdruck in Klammer in Gleichung (9.226) ist in dieser Schreibweise . Für

ist (9.226) erfüllt. Im Allgemeinen lassen sich auf diese Weise integrable Gleichungen der bilinearen Form lösen.