Bäcklund-Transformation

BÄCKLUND-Transformationen setzen eine spezielle Lösung einer partiellen Differentialgleichung in Beziehung zu einer Lösung einer anderen partiellen Differentalgleichung. Die Transformation selbst wird ebenfalls als partielle Differentialgleichung dargestellt. Auto-BÄCKLUND-Transformationen verbinden zwei verschiedene Lösungen der selben partiellen Differentialgleichung. Auf diese Weise lassen zunehmend komplizierte Lösungen einer Bewegungsgleichung konstruieren.

Beispiel Korteweg-De-Vries-Gleichung

Die KdV-Gleichung

u_t+u_xxx+6uu_x=0

kann mit der Potential-Funktion w(x,t) mit u=-w_x geschrieben werden als

Ist eine spezielle Lösung w dieser Gleichung bekannt, so folgt aus der BÄCKLUND-Transformation

eine neue spezielle Lösung von (9.223) oder als Lösung der KdV-Gleichung. k ist dabei ein beliebiger Parameter. Speziell führt der Vakuum-Zustand u =w =0 auf deine Lösung mit einem Soliton. Jede weitere Transformation erhöht die Zahl der Solitonen um eins. Daraus lassen sich beliebige N-Solitonen-Lösungen konstruieren [9.58], [9.58].

Beispiel Sinus-Gordon-Gleichung

Die Sinus-GORDON-Gleichung kann durch die Transformation X =(x+t)/2 und T =(x-t)/2 auf die Form gebracht werden. Ist u(x,t) eine bekannte Lösung der Sinus-GORDON-Gleichung, dann kann eine weitere Lösung v(x,t) durch lösen der Differentialgleichungen

berechnet werden.