Hypergeometrische Differentialgleichung

Hypergeometrische Differentialgleichung heißt die Gleichung

in der die und Parameter sind. Sie beinhaltet eine große Zahl wichtiger Spezialfälle.

1. Für und ergibt sich die LEGENDREsche Differentialgleichung.
2. Für oder keine ganze negative Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die hypergeometrische Reihe oder hypergeometrische Funktion:
   

   + (9.70b)

   
   

   die für |x| < 1 absolut konvergiert. Die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe hängt für von der Zahl ab. Für x = 1 konvergiert sie, falls ist, für divergiert sie. Für x = -1 ergibt absolute Konvergenz, bedingte Konvergenz und Divergenz.
3. Für oder ungleich einer ganzen negativen Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die Funktion
4. In einigen Fällen wird die hypergeometrische Reihe zu einer elementaren Funktion, z.B.: